1 вопрос. Вероятность появления хотя бы одного события.

2 вопрос. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

3 вопрос. Формула полной вероятности.

4 вопрос. Вероятность гипотез. Формула Байеса.

1 вопрос. Вероятность появления хотя бы одного события.

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂,..., А_n, независимых в совокуп­ности, равна разности между единицей и произведением вероятно­сти противоположных событий , , … :

P(A) = 1 - q₁ q₂ ... q_n (2.14)

Если события А₁, А₂,..., А_n имеют одинаковую вероят­ность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P(A) = 1 - qⁿ (2.15)

Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p₁=0,8; p₂=0,7; p₃=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение.

Вероятности попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события А₁ (попадание первого орудия), А₂ (попадание второго орудия) и А₃ (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А₁, А₂ и А₃ (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

q₁ = 1 - p₁ = 1 - 0,8 = 0,2

q₂ = 1 - p₂ = 1 - 0,7 = 0,3

q₃ = 1 - p₃ = 1 - 0,9 = 0,1

Искомая вероятность

P(A) = 1 - q₁ q₂ q₃ = 1 - 0,2 · 0,3 · 0,1 = 1 - 0,006 = 0,994

2 вопрос. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Пример 1. А-появление четырех очков при бросании игральной кости; В-появление четного числа очков. События А и В - совместные.

Пусть события А и В совместны, причем даны вероят­ности этих событий и вероятность их совместного появления. Найти вероятность события А+В, состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий А и В.

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух сов­местных событий равна сумме веро­ятностей этих событии без вероятности их совместного появления:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2.16)

Замечание 1. При использовании формулы (2.16) следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.

Для независимых событий

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A) · P(B) (2.17)

для зависимых событий

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A) · P_A(B) (2.18)

Замечание 2. Если события А и В несовместны, то их совмещение есть невозможное событие и, следовательно, P(AB) = 0 . Формула (2.16) для несовместных событий принимает вид

P(A+B) = P(A) + P(B)

Мы вновь получили теорему сложения для несовместных событий. Таким образом, формула (2.16) справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.

Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: p₁=0,7; p₂=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение.

Вероятности попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы.

Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание)

P(AB) = P(A) · P(B) = 0,7 · 0,8 = 0,56

Искомая вероятность

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,7 + 0,8 - 0,56 = 0,94

3 вопрос. Формула полной вероятности.

Пусть А событие может наступать при условии появления одного из несовместных событий В₁,B₂,..., В_n, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности Р_В1(А), Р_В2(А),…, Р_Вn(А)события А. Найти вероятность события А.

Теорема. Вероятность события А,которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁, B₂,..., В_n,образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

P(A) = P(B₁) · P_B1(A) + P(B₂)· P_B2(A) + ... P(B_n)· P_Bn(A) (2.19)

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Пример 1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

Решение.

Обозначим через А событие «извлеченная деталь стандартна».

Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие B₁), либо из второго (событие B₂).

Вероятность того, что деталь вынута из первого набора,

Вероятность того, что деталь вынута из второго набора,

Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь,

P_B1(A) = 0,8

Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь,

P_B2(A) = 0,9

Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности равна

P(A) = P(B₁) · P_B1(A) + P(B₂)· P_B2(A) = 0,5 · 0,8 + 0,5 · 0,9 = 0,85

4 вопрос. Вероятность гипотез. Формула Байеса.

Пусть событие А может наступить лишь при условии появле­ния одного из несовместных событий (гипотез) В₁, B₂,…, В_n,образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности (2.19)

P(A) = P(B₁) · P_B1(A) + P(B₂)· P_B2(A) + ... P(B_n)· P_Bn(A)

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

P_A(B₁), P_A(B₂), ..., P_A(B_n)

Найдем сначала условную вероятность P_A(B₁) . По теореме умножения (2.7) имеем

P(AB₁) = P(A) · P_A(B₁) = P(B₁) · P_B1(A)

Отсюда

Заменив здесь P(A) по формуле умножения (2.19), получим

(2.20)

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы B_i(i= 1, 2, …, n) может быть вычислена по формуле

(2.21)

Полученные формулы называют фор­мулами Байеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.).

Фор­мулами Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример 1. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Решение.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения:

1. деталь проверил первый контролер (гипотеза В₁);
2. деталь проверил второй контролер (гипотеза В₂).

Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Бейеса:

По условию задачи имеем:

P(B₁) = 0,6 (вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру);

P(B₂) = 0,4 (вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру);

P_B1(A) = 0,94 (вероятность того, что деталь годная будет признана первым контролером стандартной);

P_B2(A) = 0,98 (вероятность того, что деталь годная будет признана вторым контролером стандартной).

Искомая вероятность

Как видно, до испытания вероятность гипотезы В₁ равнялась 0,6, а после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы (точнее, условная вероятность) изменилась и стала равна 0,59. Таким образом, использование формулы Бейеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.