1 вопрос. Нормальное распределение.

2 вопрос. Нормальная кривая.

3 вопрос. Показательное распределение и его числовые характеристики.

1 вопрос. Нормальное распределение.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

. (4.14)

где а - математическое ожидание,

σ - среднее квадратическое отклонение Х.

Замечание 1. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами а и σ (σ >0).

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами а=0 и σ =1.

Например, если Х – нормальная величина с параметрами а и σ, то U = (X - a) / σ - нормированная нормальная величина, причем M(U)=0, σ(U)=1.

Плотность нормированного распределения

. (4.15)

Эта функция табулирована (см. приложение 1).

Замечание 2. Функция F(x) общего нормального распределения

, (4.16)

а функция нормированного распределения

. (4.17)

Функция F₀(x) табулирована. Легко проверить, что

.

Замечание 3. Вероятность попадания нормированной нормальной величины Х в интервал (0, x) можно найти, пользуясь функцией Лапласа . Действительно,

.

Замечание 4. Учитывая, что (свойство 2), и, следовательно, в силу симметрии φ(x) относительно нуля

, а значит, и  P (-∞ < X < 0) = 0,5,

легко получить, что

F₀(x) = 0,5 + Ф(x) .

Действительно,

F₀(x) = P(-∞ < X < x) = P(-∞ < X < 0) + P(0 < X < x) = 0,5 + Ф(x).

Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α, β), равна

. (4.18)

Преобразуя эту формулу, получим

, (4.19)

где - функция Лапласа.

Функцию Лапласа находим по таблице (см. приложение 2).

Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероят­ность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение.

Воспользуемся формулой (4.19). По условию, α=10, β=50, а=30, σ=10, следовательно,

.

По таблице приложения 2 находим  Ф(2) = 0,4772. Отсюда искомая вероятность

P(10 < X < 50) = 2 · 0,4772 = 0,9544.

2 вопрос. Нормальная кривая.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Исследуем функцию

методами дифференциального исчисления.

Свойства нормальной кривой.

1. Очевидно, функция определена на всей оси х

2. При всех значениях х функция принимает поло­жительные значения, т. е. нормальная кривая располо­жена над осью Ох.

3. Предел функции при неограниченном возрастании х по (абсолютной величине)

равен нулю: , т.е. ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика.

4. Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную:

.

Легко видеть, что у'=0 при х = а, у'>0 при х<а, у' < 0 при х > а.

Следовательно, при х = а функция имеет максимум равный .

5. Разность х-а содержится в аналитическом выра­жении функции в квадрате, т. е. график функции симметричен относительно прямой х = а.

6. Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную:

.

Легко видеть, что при х=а+σ и х=а- σ вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки она меняет знак (в обеих этих точках значение функции равно ). Таким образом, точки графика (а-σ, ) и (а+σ, ) являются точками перегиба.

Как влияют на форму и расположение нормальной кривой значения параметров а и σ?

1. Изменение величины параметра а (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если а возрастает, и влево, если а убывает.
2. С возрастанием σ максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая стано­вится более пологой, т. е. сжимается к оси Ох; при убывании σ нормальная кривая становится более «островершинной и растягивается в положительном направле­нии оси Оу.

При а = 0 и σ = 1 нормальную кривую называют нормированной.

3 вопрос. Показательное распределение и его числовые характеристики.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью

(4.20)

где λ - постоянная положительная величина.

Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока (показательный закон надежности).

Функция распределения показательного закона:

(4.21)

Графики плотности и функции распределения показательного закона:

Пример 1. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр λ = 8.

Решение.

Очевидно, искомая плотность распределения

Искомая функция распределения

Вероятность попадания в интервал (а, b) непрерывной случайной величины X, распределенной по показательному закону,

P(a < X < b) = e-^λa - e^-λb. (4.22)

Значения функции е^-х находят по таблице.

Пример 2. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону

f(x) = 2e^-2x при x ≥0; f(x) = 0 при x <0.

Найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (0,3, 1).

Решение.

По условию, λ = 2. Воспользуемся формулой (4.22):

P(0,3 < X < 1) = e^-(2·0,3) - e^-(2·1) = e^-0,6 - e^-2 = 0,54881 - 0,13534 ≈ 0,41.

Числовые характеристики показательного распределения

Математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра λ:

. (4.23)

Дисперсия показательного распределения равна

. (4.24)

Среднее квадратическое отклонение показательного распределения равно

. (4.25)

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Пример 3. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону

f(x) = 5e^-5x при x ≥0; f(x) = 0 при x <0.

Найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и дисперсию X.

Решение.

По условию, λ = 5. Следовательно,

.