Часть 1

1 вопрос. Задачи математической статистики.

2 вопрос. Генеральная и выборочная совокупность.

3 вопрос. Виды выборок и способы отбора.

Часть 2

4 вопрос. Статистическое распределение выборки.

5 вопрос. Эмпирическая функция распределения.

6 вопрос. Полигон и гистограмма.

4 вопрос. Статистическое распределение выборки.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х₁ наблюдалось n₁ раз, х₂ - п₂ раз, х_k - п_k раз и Σп_i=п - объем выборки.

Наблюдаемые значения х_i называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке,— вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки n_i/n = W_i — относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике — соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.

Пример. Задано распределение частот выборки объёма n = 20:

Написать распределение относительных частот.

Решение.

Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки:

Напишем распределение относительных частот:

Контроль: 0,15 + 0,50+0,35=1.

5 вопрос. Эмпирическая функция распределения.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < х:

, (6.1)

где п_х — число вариант, меньших х;

п — объем выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F(х) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения.

Различие между эмпирической (опытной) и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F(х) определяет вероятность события X < х, а эмпирическая функция F*(х) определяет относительную частоту этого же события. При больших п числа F*(х) и F(х) мало отличаются одно от другого в том смысле, что

.

Уже отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

F*(х) обладает всеми свойствами F(x). Действительно, из определения функции F*(х) вытекают следующие ее свойства:

1. значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0, 1];
2. F*(х) — неубывающая функция;
3. если x₁ — наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при х≤ х₁; если x_k — наибольшая варианта, то F*(х) = 1 при х>х_k.

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Решение.

Найдем объем выборки:

12 + 18 + 30 = 60.

Наименьшая варианта равна 2, следовательно,

.

Значение X < 6, а именно x₁ = 2, наблюдается 12 раз, следовательно,

.

Значение X < 10, а именно x₁ = 2 и x₂ = 6, наблюдалось 12 + 18 = 30 раз, следовательно,

.

Так как x = 10 - наибольшая варианта, то

.

Искомая эмпирическая функция

Построим график эмпирической функции распределения.

6 вопрос. Полигон и гистограмма.

Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х₁; n₁), (х₂; n₂),…, (х_k; n_k).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х_i, а на оси ординат — соответствующие им частоты n_i. Точки (х_i; n_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х₁; W₁)_, (х₂; W₂), ..., (х_k; W_k).

Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты х_i, а на оси ординат — соответствующие им относительные частоты W_i. Точки (х_i ; W_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

На рис. 1 изображен полигон относительных ча­стот следующего распределения:

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в ко­тором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала п_i — сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.

Гистограммой ча­стот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, a высоты равны отношению n_i/h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии n_i/h.

Площадь i-го частичного прямоугольника равна hn_i/h = n_i — сумме частот вариант i -го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объему выборки.

На рис. 2 изображена гистограмма частот распределения объема n=100, приведенного в табл. 1.

Таблица 1

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению W_i /h (плотность относитель­ной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии W_i/h. Площадь i-го частичного прямоуголь­ника равна hW_i/h= W_i — относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гисто­граммы относительных частот равна сумме всех отно­сительных частот, т. е. единице.

Часть 1